Задача по МКТ, термодинамике №55

В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем массой $M$ и площадью $S$ находится идеальный одноатомный газ. Поршень в равновесии располагается на высоте $h$ над дном цилиндра. После сообщения газу количества теплоты $Q$ поршень приподнялся, а газ нагрелся. Найдите, на какой высоте $H$ над дном цилиндра находится поршень. Давление в окружающей цилиндр среде равно $po$ .

Рассматриваемый процесс — изобарный (так как поршень подвижный и количество вещества газа не изменяется).
Запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса:

Q =A + ΔU (1)

где $A$ — работа газа, $ΔU$ — изменение внутренней энергии газа.
Работа газа и изменение его внутренней энергии равны:

A =pΔV (2) ΔU = iνRΔT (3) 2

где $p$ — давление газа под поршнем, $ΔV$ — изменение объема газа, $i$ — число степеней свободы (для одноатомного газа $i= 3$ ), $ν$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $ΔT$ — изменение температуры газа.
Подставим (2), (3) в (1):

Q = pΔV + 3νRΔT 2

Для изобарного процесса справедливо равенство: $pΔV = νRΔT$ .
Тогда уравнение (4) примет вид:

3 5 Q =pΔV + 2pΔV = 2pΔV (5)

Запишем второй закон Ньютона:

⃗F +M ⃗g +F⃗0 = M⃗a,

где $F = pS$ – сила давления газа, $F0 = p0S$ – сила давления атмосферы, $a$ – ускорение поршня.
В состоянии покоя $a= 0$ . Спроецируем второй закон Ньютона в вертикальную ось: