Задача по МКТ, термодинамике №48

Идеальный одноатомный газ совершает в тепловом двигателе цикл 1-2-3-1 , в котором давление $p$ газа изменяется с изменением его плотности $ρ$ так, как показано на рисунке, причем график процесса 1-2 представляет собой участок гиперболы, описываемой уравнением $p =b + k ρ$ . Определите КПД цикла $η$ . Ответ приведите в процентах, округлив до одного знака после запятой.

Так как плотность связана с объёмом $V$ формулой:

m ρ= -V ,

также по условию газ имеет постоянную массу $m$ . То есть объём равен:

V = m-. ρ

По условию:

-k- k- p0 = b+ 2ρ0 3p0 = b+ ρ0

Отсюда

k =4p0ρ0

k b= p0− 2ρ0 = − p0.

Тогда зависимость давления от плотности:

( ) p= p0 − 1+ 4ρ0 . ρ

С учётом $m V = ρ-,$ получим зависимость давления от объёма:

( V ) p= p0 − 1+ 4V0 .

где $V$ – объём газа в состояниях 1 и 3.
График изображён на рисунке:

Работа газа за цикл равна площади треугольника и равна:

(3p − p )( V ) pV A = --02--0- V0 − 20 = 020.

Газ получает тепло на участке 2-3 и 3-1, так как 2-3 изохорный процесс увеличением давления, а 3-1 изобарный с увеличением объёма. Тогда количество теплоты, полученное газом, равно:

Q н = Q23+ Q31.

По первому началу термодинамики найдем $Q 23$

Q23 = ΔU23+ A23,

где $ΔU = 3νR(T − T ) 23 2 3 2$ – изменение внутренней энергии, $A 23$ – работа газа, $ν$ – количество вещества, $T$ – температура.
Работа газа равна нулю, так как объём постоянен. Также запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояний 2 и 3: