Задача по МКТ, термодинамике №45

С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс a-b-c-d-a (начальное и конечное состояния газа совпадают). Дан график зависимости работы, совершенной газом с начала процесса, от количества теплоты, полученного газом с начала процесса. Качественно построить график зависимости давления газа от его объема в этом процессе и объяснить построение. Найти КПД процесса.

Из графика видим, что для первого процесса a-b (начало процесса – в начале координат) выполнено условие

5 Qab = 2Aab

где $Aab$ – работа газа, $Qab$ – количество теплоты, полученное газом. Такая связь работы и количества теплоты, полученного одноатомным газом, характерна для изобарического процесса. Докажем это. Пусть $ab$ – изобара, то работа газа равна:

A = p (V − V )= p ΔV = νRΔT , ab ab b a ab ab

где $ν$ – количество вещества, $p$ – давление газа, $V$ – объём газа, $ΔT$ – изменение температуры.
Последнее равенство получено с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:

pabVb = νRTb pabVa = νRTa

Количество теплоты в процессе $a− b$ можно найти по первому началу термодинамики:

Qab = ΔUab+ Aab,

где $ΔUab$ – изменение внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии равно:

ΔUab = 3νR(Tb− Ta)= 3νRΔTab. 2 2

Откуда:

Q = 5 νR ΔT = 5 A . ab 2 ab 2 ab

Значит, наше предположение верно. Поэтому процесс – изобарический, в котором газ получил количество теплоты $Qab = 5$ кДж. В процессе $b− c$ $Abc = Qbc$ , поэтому $ΔUbc = 0$ то есть изменение внутренней энергии равно нулю, значит, процесс $b − c$ – изотермический, в котором газ получил количество теплоты $Qbc = 4$ кДж. На участке $c− d$ работа газа, совершенная с начала процесса, не меняется, следовательно, $Acd = 0$ , значит, работа газа равна нулю и процесс $c − d$ изохорический, в котором газ отдает количество теплоты $Q = 7 cd$ кДж. После состояния $d$ количество теплоты, полученное газом с начала процесса не меняется, $Qda = 0$ , процесс $d− a$ – адиабатический, в котором газ совершает работу $Ada = −4$ кДж. Таким образом, за цикл газ совершил положительную работу $Aabcda = 2$ кДж, а получил от нагревателя (участки $a− b− c$ , на которых газ получал тепло) следующее количество теплоты $Qabc =Qab +Qbc = 9$ кДж. Поэтому КПД циклического процесса $a− d− c− d− a$ равен

ηabcda = Aabcda = 2= 0,22 Qabc 9

Качественный график процесса $a − d − c − d − a$ в координатах $p − V$ приведен на рисунке, в котором процесс $a− b$ – изобара, $b− c$ – изотерма, $c− d$ – изохора, $d − a$ – адиабата. Поскольку работа и количество теплоты не являются функциями состояния, и в условии не задано количество вещества газа, определить параметры этого цикла (объемы, давления, температуры) по данным условия невозможно.