Задача по МКТ, термодинамике №35

Воздушный шар, оболочка которого имеет массу $M = 145$ кг и объём $3 V = 230 м$ , наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры $t= 265∘C$ . Определите максимальную температуру $to$ окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие (см. рисунок).

Покажем на рисунке все силы, действующие на воздушный шар и введем вертикальную ось $y$ :

Рассмотрим предельный случай, когда шар вот-вот оторвется от поверхности земли, и запишем для него второй закон Ньютона:

⃗ FАрх+m ⃗g+ M ⃗g = 0

где $F Арх$ — выталкивающая сила, $m$ — масса горячего воздуха, $g$ — ускорение свободного падения.
Спроецируем второй закон Ньютона на ось $y$ , направленную вертикально вверх:

F Арх − mg − Mg = 0 (1)

Выталкивающая сила равна:

FАрх = ρogV (2)

где $ρo$ — плотность холодного воздуха, $V$ — объем шара.
Подставим (2) в (1) и разделим на $g$ :

ρoV − m − M = 0 (3)

Заметим, что $m = ρV,$ где $ρ$ – плотность горячего воздуха
Тогда уравнение (3) будет иметь вид:

ρoV − ρV − M = 0 (4)

Чтобы найти плотности горячего и холодного воздуха, запишем для них уравнение Менделеева – Клапейрона:

poV1 =-m-RT ⇒ ρ = poMr- (5) Mr RT

poV = mo-RTo ⇒ ρo = poMr (6) Mr RTo

где $po$ — атмосферное давление, $V1$ – объём холодного воздуха $Mr$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ $To$ — абсолютные температуры горячего и холодного воздуха соответственно.
Подставим (5), (6) в (4) и выразим максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнет подниматься: