Задача по МКТ, термодинамике №21

Просмотров 5 Комментарии 0

Диаграмма зависимости давления $p$ от объёма $V$ для некоторой массы идеального газа состоит из двух изотерм и двух отрезков прямых, проходящих через начало координат (см. рисунок). Найти объём газа $V4$ в состоянии 4, если известны его объёмы $V1$ , $V2$ и $V3$ в состояниях 1, 2 и 3 соответственно.

Прямая, проходящая через начало координат, описывается уравнением

p(V )= kV,

где $k$ – угол наклона прямой.
Пусть объем при переходе из 4 в 3 возрастает в $α$ раз, тогда давление в точке 4 станет равно

p(αV4)= αkV4 =αp4

Аналогично доказывается для прямой, проходящей через точки 1 и 2. Пусть при переходе из 1 в 2 давление и объем возрастает в $β$ раз. Тогда для процессов 1 – 4 и 2 – 3 можно записать

p2V2 =p3V3 p1V1 =p4V4 ⇒ β2p1V1 =α2p4V4 p1V1 =p4V4 ⇒ β = α

Запишем уравнение изотермы для 1–4 и выразим искомую величину

p1V1 = p4V4 ⇒ V4 = V1p1 p4

Аналогично запишем для 2–3

p1 V3 p2V2 = p3V3 ⇒ αp1V2 = αp4V3 ⇒ p4 = V2

Объединяем последние два уравнения

V4 = V1V3 V2