Задача по МКТ, термодинамике №14

В герметичном сосуде влажный воздух давлением 100 кПа, температурой $∘ 100C$ , если изотермически уменьшить объём в 3 раза давление станет таким же, как если бы изохорно увеличить температуру в 1,6 раз. Найти начальную относительную влажность воздуха.

Влажный воздух представляет собой смесь воздуха и водяных паров. Так как температура воздуха $∘ 100 C$ , то давление насыщенного водяного пара равно 100 кПа, в данном случае – давлению влажного воздуха $p$ .

По закону Дальтона давление газа в сосуде равно сумме парциальных давлений:

p= p1возд+ pпара,

где $p1возд$ – давление воздуха, $pпара$ – давление водяного пара.
Давление пара можно выразить из формулы относительной влажности:

φ = pпара ⇒ pпара = φ ⋅pн.п., pн.п.

где $pн.п. = p= 100$ кПа – давление насыщенных паров, $φ$ – относительная влажность.
Тогда давление сухого воздуха равно:

p1возд = p(1 − φ ).

При изотермическом сжатии давление насыщенных паров не изменяется. Давление сухого воздуха при изотермическом сжатии по закону Бойля-Мариотта должно возрасти в 3 раза $pV = const$ , $p2возд =3p1возд.$ При этом если пар не становится насыщенным, то давление водяных паров тоже должно возрасти в 3 раза и давление влажного воздуха тоже возрастает в 3 рааз.
При изохорном нагревании справедлив закон Шарля: $p- T = const.$ Следовательно, давление влажного воздуха возрастает в 1,6 раз

p2 = 1,6p (1)

Значит, наше предположение, что в первом случае пар не становится насыщенным ложно и пар стал насыщенным. Тогда

p2 = p2возд+ pн.п. =3p1возд+ p= 3(1− φ)p+ p= (4− 3φ )p. (2)

Приравняем (1) и (2):

1,6p = p(4 − 3φ)⇒ φ= 0,8= 80%.