Задача по МКТ и термодинамике №53

На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с одноатомным идеальным газом, в координатах $p − T$ , где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура газа. Вещество газа взято в количестве 5 моль.

Из приведенного ниже списка выберите все правильные утверждения, характеризующих процессы на графике.

1) Внутренняя энергия газа в состоянии 2 в три раза меньше, чем в состоянии 1.
2) Работа газа в процессе 2-3 в 4 раза больше, чем работа, совершенная внешними силами в процессе 4-1.
3) В процессе 3-4 внутренняя энергия газа не изменяется.
4) В процессе 2-3 системе было передано положительное количество теплоты.
5) В процессе 1-2 концентрация молекул газа уменьшилась вдвое.

1) $Неверно$
Внутренняя энергия газа в состоянии 1 и в состоянии 2 соответственно равна:

U1 = 3νRT1 2

U = 3νRT , 2 2 2

где $ν$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Найдем отношение $U2$ к $U1$ , учитывая, что $ν = const$ (по условию) и $R = const$ :

U 3νRT2 U T U2 = 23-----⇒ U2 = T2 1 2νRT1 1 1

По графику видно, что процесс 1-2 – изохорный. По закону Шарля(*):

p1= -p2 ⇒ T1 = p1T2-⇒ T1 = 2poT2 =2T2 T1 T2 p2 po

(*)То же самое можно вывести из уравнения Менделеева-Клапейрона.

U2 = -T2= 1 U1 2T2 2

Таким образом, внутренняя энергия газа в состоянии 2 в два раза меньше, чем в состоянии 1.

2) $Верно$
Так как график дан не в p-V координатах, то искать по нему работу газа как площадь фигуры нельзя. Найдем работу газа в процессе 2-3:

A ′ = p(V − V )= pV − p V = νRT − νRT = νR(T − T ) 2−3 2 3 2 23 2 2 3 2 3 2

A′ = νR(5T − T )= 4νRT 2−3 o o o

Мы можем заменить $p2V3$ на $νRT3$ и $p2V2$ на $νRT2$ , исходя из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Таким же образом найдем работу внешних сил в процессе 4-1:

A4−1 = −A ′4−1 = −p1(V1− V4)= −(p1V1− p1V4)= − (νRT1 − νRT4)= −(νR(T1− T4))

A4−1 =− (νR (2To − 3To))= −(−νRTo) =νRTo

Найдем отношение работы газа в процессе 2-3 и работы внешних сил в процессе 4-1:

A ′ 4νRTo A42−−-31 =-νRTo-= 4

3) $Неверно$
Изменение внутренней энергии газа зависит от изменения его температуры:

3 ΔU = 2νR ΔT,

где $ν$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Процесс 3-4 не является изотермическим. Следовательно, температура газа не постоянна и ее изменение не равно нулю, поэтому и внутренняя энергия тоже не постоянна:

ΔT ⁄= 0 ⇒ ΔU ⁄= 0⇒ U ⁄=const

4) $Верно$
Процесс 2-3 — изобарный (так как по графику видно, что $p= const$ ). Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:

Q2−3 =A ′2−3 +ΔU2 −3

Работа газа прямо пропорциональна изменению его объема:

A ′2− 3 = p2ΔV

Мысленно проведем изохоры $V2$ и $V3$ . Так как изохора $V3$ лежит ”ниже” изохоры $V2$ , то изменение объема газа положительно. Таким образом, газ в процессе 2-3 совершает положительную работу: A′2−3 >0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-728-37.svg» width=»auto»>. <br class= Изменение внутренней энергии газа зависит от изменения его температуры:

3 ΔU2−3 = 2νRΔT

По рисунку видно, что T3 > T2 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-728-39.svg» width=»auto»>. Значит, изменение температуры газа положительно: <img alt= 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-728-40.svg» width=»auto»>. То есть изменение внутренней энергии $ΔU2− 3$ также положительно.
Так как изменение внутренней энергии газа и его работа положительны, то и количество теплоты $Q2−3$ также положительно.

5) $Неверно$
Зависимость давления газа от концентрации молекул и его абсолютной температуры выражается следующей формулой:

p = nkT,

где $k$ — постоянная Больцмана. Далее можно рассуждать двумя способами.
1. Графически: по графику процесса 1-2 видно, что зависимость $p(T)$ является линейной. Значит, в функции $p(T )= nkT$ изменяется только один параметр — температура $T$ . Следовательно, концетрация молекул газа остается постоянной.
2. Аналитически: найдем отношение $n1$ к $n2$ и убедимся, что в процессе 1-2 концентрация молекул газа не изменяется.

p1 = n1kT1; p2 = n2kT2

p n kT n p kT p T p1= n-1kT1 ⇒ n1 = p1kT2= p1T2 2 2 2 2 2 1 2 1

n1 2poTo n2 = po2To = 1