Задача по механике №97

На легкой нерастяжимой пружине жесткостью 800 Н/м груз совершает вертикальные колебания. Исходя из данных графиков, выберите все верные утверждения и укажите их номера.

1) Циклическая частота $ω$ колебаний груза равна 0,4 рад/с.
2) Период колебаний равен 0,314 c
3) Максимальное ускорение груза по модулю равно 32 м/с $2.$
4) Масса груза равна 0,5 кг.
5) Максимальная потенциальная энергия упругой деформации пружины равна 0,64 мДж.

1) $Н еверно$
Уравнение гармонических колебаний:

x= Acos(ωt)

где $A$ – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний – это наибольшее значение смещение. По графику видно, что $A = 2$ см. Тогда уравнение гармонических колебаний для данного груза:

x= 0,02cos(ωt)

Скорость – это производная координаты:

vx = x′ = − Aωsin(ωt)= −0,8sin(ωt)

Из данного уравнения видно, что $Aω =0,8$ , следовательно,

ω = 0,8-= 0,8-= 40 рад/с A 0,02

2) $Неверно$
Период колебаний маятника в данном случае определяется выражением:

2π 2 ⋅3,14 T = ω- = 40 рад/с = 0,157 с

3) $Верно$
Ускорение – это производная скорости по времени:

a = v′= −A ω2cos(ωt) =− a cos(ωt) x x xmax

Следовательно,

a =A ω2 = 2⋅10−2 м ⋅(40 рад/с)2 = 32 м/с2 xmax

4) $Верно$
Циклическая частота определяется выражением:

∘ --- ω = k- m

Отсюда выведем массу:

-k -800 Н/-м- m = ω2 = (40 рад/с)2 = 0,5 кг

5) $Неверно$
Максимальная потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется выражением

2 Eпmax = k(A-+-x0) 2

где $x 0$ – растяжение пружины под весом груза. Растяжение пружины под весом груза можно узнать, взяв положение равновесия для груза и расписав силы, действующие на него. В этом случае на груз будут действовать сила упругости $⃗ Fупр$ и сила тяжести $m⃗g$ , направленные в противоположные стороны друг от друга вдоль вертикальной оси $Oy$ . В проекции на ось $Oy$ :

Fупрy − mg = 0

В данном случае сила упругости $Fупру = kx0$ . Тогда получаем следующее уравнение:

kx0− mg = 0

Отсюда выражаем $mg 0,5 кг ⋅32 м/с2 x0 =-k-= ---800-Н/м--- = 0,02$ м. Теперь мы можем узнать максимальную потенциальную энергию

−2 2 Eпmax = 800-Н/м-⋅(2⋅10-м-+-0,02-м)-= 0,64 Дж = 640 м Дж 2