Задача по механике №84

Прут массой 5 кг опирается на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, образуя с первой угол $∘ 30$ (см. рисунок). Длина прута $√ - AB =2 3$ м. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения, описывающих эту ситуацию.

1) Модуль нормальной силы реакции опоры, действующей на прут со стороны горизонтальной поверхности равна модулю силы трения, действующей на него со стороны вертикальной поверхности.
2) Момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку $B$ перпендикулярно плоскости рисунка, равен 60 Н $⋅$ м.
3) Длина плеча силы трения, действующей на прут со стороны вертикальной поверхности, относительно оси, проходящей через точку $B$ перпендикулярно плоскости рисунка, составляет 3 м.
4) Момент силы реакции опоры, действующей на прут со стороны вертикальной поверхности, относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка, равен нулю.
5) Длина прута на 15 $%$ больше длины плеча действующей на него со стороны горизонтальной поверхности силы реакции опоры относительно точки $C$ .

1) $Неверно$
Укажем все силы, действующие на прут (рис. 1):
$Fтр1$ , $N1$ — сила трения и нормальная сила реакции опоры, действующие на прут со стороны вертикальной поверхности;
$mg$ — сила тяжести;
$Fтр2$ и $N2$ — сила трения и нормальная сила реакции опоры, действующие на прут со стороны горизонтальной поверхности.
Запишем второй закон Ньютона с учетом того, что прут покоится:

⃗Fтр1+ ⃗N1+ m ⃗g+ ⃗Fтр2+ N⃗2 = 0

Введем оси $Ox$ и $Oy$ (рис. 1) и спроецируем на них все силы:

( ( {Ox :N1 − F тр2 = 0 { N1 = Fтр2 ( ⇒ ( Oy :Fтр1− mg+ N2 = 0 Fтр1− mg + N2 = 0

Таким образом, сила реакции опоры $N2$ , действующая на прут со стороны горизонтальной поверхности, не равна силе трения $Fтр1$ , действующей на него со стороны вертикальной поверхности.

2) $Неверно$
Момент силы тяжести относитльно оси, проходящей через точку $B$ перпендикулярно плоскости рисунка, равен:

M = mg⋅l,

где $l$ — плечо силы. Упростим модель (рис. 1) до двух подобных треугольников $ΔABC$ и $ΔOBH$ (рис. 2) и, обратившись к геометрии, выразим длины всех отрезков через сторону $AB$ .

По рисунку видно, что плечом силы тяжести $l$ является отрезок $HB$ , равный $√3 -4 AB$ . Таким образом, момент силы тяжести равен:

√- √ - M = 5 кг⋅10 м2 ⋅-3⋅2 3 м = 75 Н ⋅м с 4

3) $Верно$
Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.
По рисунку видно, что плечом силы трения, действующей на прут со стороны вертикальной поверхности, относительно оси, проходящей через точку $B$ перпендикулярно плоскости рисунка, является отрезок, равный по длине отрезку $CB$ .

√- CB = -3AB 2

√3- √ - CB = 2 ⋅2 3 м = 3 м

4) $Верно$
Момент силы трения $M$ равен произведению модуля силы реакции опоры $N1$ на ее плечо $l$ :

M = N1 ⋅l

По рисунку видно, что длина плеча силы трения $l$ относительно точки $A$ равна нулю (так как ось вращения, проходящая через точку $A$ , перпендикулярна линии действия силы реакции опоры).
Следовательно, и момент силы реакции $M$ так же равен нулю:

M = N1 ⋅0 м = 0 H ⋅м

5) $Верно$
По рисунку видно, что плечом силы реакции опоры $N2$ , действующей на прут со стороны горизонтальной поверхности, является отрезок $CB$ .

Исходя из рис. 2:

√3 2CB CB = -2 AB ⇒ AB = -√-- 3

AB ≈ 1,15 CB

Следовательно, длина прута $AB$ приблизительно на 15 $%$ больше длины плеча действующей на него со стороны горизонтальной поверхности силы реакции опоры относительно точки $C$ .