Задача по механике №45

Изготовленная из соснового дерева тонкая прямая однородная палочка объёмом $3 V0 =27,2 см$ закреплена за свой верхний конец на горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться в вертикальной плоскости. К нижнему концу этой палочки на тонкой лёгкой нити привязан алюминиевый шарик. Шарик и нижняя часть палочки погружены в сосуд с водой, причём ниже уровня воды располагается ровно половина палочки, и шарик не касается дна сосуда.

При этом палочка наклонена под некоторым углом к горизонту, и вся система находится в равновесии. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку и на шарик. Найдите объём $V$ шарика. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной (ИСО).

2. Будем считать палочку абсолютно твёрдым телом. Условие равновесия твёрдого тела, которое может вращаться вокруг некоторой оси – равенство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к телу, относительно этой оси. Груз будем описывать моделью материальной точки, его размерами можно пренебречь. Груз находится в покое относительно поступательного движения, следовательно, сумма сил, действующих на него, равна нулю.

3. Палочка тонкая, поэтому объём погруженной в воду части палочки можно считать прямо пропорциональным длине этой части.

4. Нить тонкая, поэтому можно пренебречь действующей на неё силой Архимеда.

5. Нить лёгкая, поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке одинаков, в частности: $|⃗T1|=|⃗T2|= T$ (см. рисунок в решении).

6. Груз не касается дна сосуда, поэтому на него со стороны этого дна не действует сила реакции.

Решение
Изобразим силы, действующие на тела.

На шарик действует сила тяжести $m ⃗g$ , где $m$ – масса шарика, сила Архимеда $⃗ FA1$ и сила натяжения нити $⃗ T2$ . На палочку действует сила тяжести $M ⃗g$ , где $M$ – масса палочки сила Архимеда $⃗FA2$ , сила натяжения нити $⃗T1$ и сила реакции опоры $N⃗$ .
Запишем второй закон Ньютона для шарика

m ⃗g+ ⃗FA1+ ⃗T2 = ma⃗1,

где $a1 = 0$ – ускорение шарика.
Сила Архимеда равна

FA = ρgVт,

где $ρ$ – плотность жидкости, $Vт$ .
Тогда

gV0 FA1 = ρ0gV FA2 =ρ0-2-.

Массы тел равны

m = ρ1V M = ρ2V,

где $ρ1$ – плотность алюминия, $ρ2$ – плотность соснового дерева.
Спроецируем второй закон Ньютона на ось $x$ :

mg− FA1 − T = 0⇒ T = mg − FA1.

С учётом уравнений для массы и силы Архимеда

T = ρ1gV − ρ0gV = gV(ρ1− ρ0). (1)

Пусть длина палочки равна $L$ , и составляет угол $α$ с горизонталью (см. рис.). Запишем правило момента для палочки относительно оси вращения $O$ , с учётом, что сила тяжести приложена в центре палочки, а сила Архимеда в центре погруженной части палочки: