Задача по механике №44

На дне кастрюли с водой неподвижно закреплен шарнир малых размеров. К шарниру прикреплен нижним концом тонкий однородный стержень AB постоянного поперечного сечения $S = 0,25 см2$ . Он может без трения поворачиваться на шарнире в плоскости рисунка. Толщина слоя воды $h = 20$ см. В равновесии стержень образует с вертикалью угол $α= 30∘$ Плотность воды $ρ = 103 кг/м3$ , плотность материала стержня $ρс = 600 кг/м3$ . Найдите величину и направление силы $F⃗$ , с которой стержень в равновесии действует на шарнир. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень AB. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи

Обоснование
1. Выберем систему отсчета, неподвижно связанную с Землей, и будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).

2. Стержень будем считать твердым телом с осью вращения, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку A. Условия равновесия твердого тела – равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси и равенство нулю суммы сил, приложенных к телу.

3. На стержень действует три силы: сила тяжести $m ⃗g$ , сила Архимеда $⃗FA$ и сила реакции шарнира $N⃗$ . Силы $m ⃗g$ и $⃗FA$ направлены вертикально, поэтому из пункта 2 следует, что и сила $⃗N$ направлена вертикально.

4. Силы $⃗F$ и $⃗N$ связаны третьим законом Ньютона: $⃗F = − ⃗N$ , поэтому сила тоже направлена $⃗F$ по вертикали.

Решение
Рисунок с изображением сил сделан в обосновании. Сила $m⃗g$ приложена к центру стержня, а сила $F⃗A$ приложена к центру погруженной части.

Пусть длина стержня $l$ . Найдем силу Архимеда, действующую на стержень. Стержень погружен в жидкость на $--h-S cosα$ , то есть

F =ρ g--h-S А 0 cosα

Запишем правило моментов, относительно оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку $A$ . С учетом того, что момент силы находится произведением силы на плечо этой силы.