Задача по механике №35

Вертикальная труба с поршнем, плотно прилегающим к ее внутренним стенкам, опущена нижним концом в воду. Вначале поршень находился в самом нижнем положении, на уровне воды, а затем его медленно поднимают на высоту 20 м. Пренебрегая трением, найдите совершенную при этом работу (в кДж). Площадь поршня 100 см $2.$ Атмосферное давление 100 кПа. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Описываем поршень моделью абсолютно твердого тела (форма и размеры неизменны).

3. Так как по условию сказано, трением пренебречь, то можно утверждать что вся работа идет на поднятие поршня

Решение

Процесс поднятия поршня происходит в 2 этапа. Первый этап: давление под поршнем будет положительным и равное

p0 − ρgh

где $ρ$ – плотность воды, $h$ – высота подъезда поршня.
Вода будет заполнять весь объем под поршнем, а приложенная к поршню сила будет компенсировать давление внутри, она будет равна

F = ρghS

Она будет линейно возрастать. Это будет до момента, пока вода не поднимется на высоту, равную

h0 = p0 =---100 кП-а--= 10 м ρg 1000 кг/м3⋅10∕

При подъеме поршня на высоту $h0$ давление станет равным нулю. После этого вода перестает подниматься, а сила, приложенная к поршню, остается равной

F′ = ρgh0S = p0S

Работа по поднятию равна сумме работ: работе по поднятию до высоты $h0$ : $0+ F1 poSh0 A0 = --2--h0 =--2--$ (так как она линейно возрастает, то берем как среднее арифметическое от начального, до конечного) и работе по поднятию от высоты $h0$ и конечной высоты $A1 = F1(h1− h0)= poSh1 − poSh0$ . Значит, полная работа равна

( ) A = poSh0+ p0Sh1− p0Sh0 = p0S h1 − h0)= 100 кПа ⋅10−2 м2(20 м− 5 м = 15 кДж 2 2