Задача по механике №32

Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна $S =100$ см $2 .$ В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой $T$ . Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на $h$ = 5 см. Найдите силу натяжения нити $T$ . Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Демоверсия 2018

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Описываем тело моделью материальной точки, так как в условиях данной задачи размерами тела можно пренебречь.

3. На тело, погруженное в жидкость, действует сила Архимеда, приложенная к центру масс погруженной части и направленная вертикально вверх

Решение Пусть $ρ$ – плотность жидкости, $H$ – первоначальный уровень воды, тогда после перерезания нити уровень уменьшится на $h$ .
Способ I
Сделаем рисунок с изображением двух состояний, до перерезания нити и после

Запишем второй закон Ньютона для первого случая, с учётом, что тело покоится

⃗T + m ⃗g+ ⃗FА1 = 0

Спроецируем на вертикальную ось $y$

T + mg = FА1

Аналогично для второго случая

m ⃗g+ ⃗FА2 =0

mg = FА2

С учетом, что

F А1 = ρgV1

FА2 =ρgV2,

где $V1$ и $V2$ – объём погруженной части тела.
При этом $V1 − V2 = hS$ , тогда

T = FА1− FА2 = ρghS =1000 кг/м3 ⋅10 Н/кг⋅0,05 м ⋅0,01 м2 = 5 Н

Способ II
Значит гидростатическое давление до перерезания нити

P1 = ρgH.

Сила давления на дно же равна

F = P S,

где $S$ – площадь дна сосуда. Так как есть еще сила натяжения нити, которая удерживает шар в воде, но не действует на дно, то сила давления на дно равна

F1 = ρ⋅g ⋅H ⋅S − T

Во втором случае нить обрывается и шар всплывает и уровень уменьшается на $h$ , тогда сила давления на дно будет равна

F2 = ρ⋅g⋅(H − h)⋅S

Поскольку масса шара и воды остается неизменным, то и сила давления на дно при равновесных состояниях остается неизменной, а значит мы можем приравнять $F1$ и $F2$

ρ⋅g⋅H ⋅S− T = ρ⋅g⋅H ⋅S − ρ ⋅g⋅h⋅S

Выразим силу натяжения нити

T = ρ⋅g⋅h ⋅S = 1000 кг/м3⋅10 Н/ кг⋅0,05 м⋅0,01 м2 = 5 Н