Задача по механике №291

На столе покоится горка с двумя вершинами высотой $h = 10$ м и $2,5h$ . На вершину с высотой $2,5h$ кладут шайбу. От небольшого толчка систему приводят в движение, при этом шайба движется влево не отрываясь от поверхности горки, а горка поступательно вправо. Найдите отношение массы шайбы к массе горки, если на вершине высотой $h$ скорость шайбы равна $v = 10$ м/с. Горка гладкая, сопротивлением воздуха пренебречь. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.
Демонстрационная волна, 2014

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Шайба движется поступательно, её размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать шайбу моделью материальной точки.

3. На тело массой $m$ и горку $M$ действуют силы тяжести, и силы нормальной реакции опоры (взаимодействие между шайбой и горкой), и силы нормальной реакции опоры стола (сила со стороны стола, действующая на горку). Силы тяжести являются потенциальными силами. Так как поверхность горки гладкая, то суммарная работа сил нормальной реакции опоры, действующих на шайбу $m$ и горку $M$ , равняется нулю, идеальная связь. Работа силы нормальной реакции опоры, действующей на горку со стороны стола, равна нулю, потому что горка перемещается перпендикулярно этой силе. Так как изменение механической энергии тела в ИСО равно сумме работ всех непотенциальных сил, приложенных к телу, полная механическая энергия системы тел «шайба + горка»при движении шайбы сохраняется, поскольку сумма работ всех непотенциальных сил равняется нулю

4. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность стола.

Решение

Пусть $m$ – масса шайбы, $M$ – масса горки, $V$ – скорость горки.
Потенциальная тела массой $m$ на высоте $h$ равна

En = mgh,

а кинетическая энергия тела со скоростью $v$ и массой $m$

mv2- E = 2 .

На систему действуют внешние силы, а именно сила реакции опоры и сила тяжести, но они направлены вертикально, поэтому можем записать закон сохранения импульса на горизонтальную ось, приняв начальную положение за начало движения, а нахождения шайбы на второй вершине горки за конечное, с учетом, что изначально все тела покоились