Задача по механике №288

Пушка, закрепленная на высоте 5 м, стреляет в горизонтальном направлении снарядами массы 10 кг. Вследствие отдачи ее ствол сжимает на 1 м пружину жесткости $6⋅103$ Н/м, производящую перезарядку пушки. Считая, что относительная доля $η = 1∕6$ энергии отдачи идет на сжатие пружины, найдите массу ствола, если дальность полета снаряда составила 600 м. Сопротивлением воздуха пренебречь. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Досрочная волна 2019

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Снаряд движется поступательно, его размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать его моделью материальной точки.

3. Размерами пушки в условиях данной задачи можно пренебречь, поэтому ее тоже будем описывать моделью материальной точки.

4. Так как выстрел происходит мгновенно и в горизонтальном направлении не действуют никакие силы, то в этом направлении выполняется закон сохранения импульса для системы «Снаряд + пушка».

5. Для описания движения снаряда можно использовать закон сохранения энергии системы «снаряд + пружина + окружающая среда».

6. После вылета из пушки снаряд будет двигаться только под действием силы тяжести (сопротивление воздуха в условиях данной задачи пренебрегаем), значит, будем описывать движение снаряда при помощи формул кинематики. При этом по вертикали тело движется равноускоренно с ускорением $g$ поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равноускоренного движения, по горизонтали никакие силы не действуют, поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равномерного движения.

Решение

Пусть $v п$ и $vс$ соответственно начальные скорости пушки и снаряда, $m п$ , $m с$ массы пушки и снаряда. Энергия сжатой пружины равна

kx2 -2-,

где $x$ – сжатие пружины, $k$ – жёсткость пружины.
А кинетическая энергия тела находится по формуле:

E = mv2-, k 2

где $m$ – масса тела, $v$ – его скорость
Энергия отдачи пушки равна

m пv2 kx2 --2--п= -2η ,

Откуда:

m п = kx2- v2пη

Найдём начальную скорость пушки. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса:

m пvп = m сvс

, следовательно:

m с⋅vс v п =--m-п--

Значит,

kx2m2 m п = v2m2-пη, c с

Откуда

m п = v2сm2сη- kx2

На снаряд действует только сила тяжести, поэтому время падения $t$ и высота $h,$ с которой он падает связаны формулой:

2 2 ∘--- h(t)= ⃗v0t+ ⃗at- h= gt-, откуда t= 2h-, 2 2 g

где $v0$ – начальная скорость тела, $t$ – время, $a$ – проекция ускорения.
После выстрела на снаряд вдоль горизонтальной оси не действуют никакие силы, поэтому дальность полёта снаряда $L$ связана с горизонтальной составляющей скорости

∘ --- vс = L-= -g L t 2h

Подставим выражение для скорости снаряда в выражение для массы пушки:

gL2 m2η m п =-2h kcx2-

Подставив числовые значения в выражение, получим $m п = 1000$ кг