Задача по механике №287

В маленький шар массой $M = 250$ г, висящий на нити длиной $l = 50$ см, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой $m = 10$ г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь. Какие законы Вы используете для описания движения грузов? Обоснуйте их применение.

Демоверсия 2019

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля еще меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.
3. Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы тел «шарик $M$ + пуля $m$ «.
4. После попадания пули в шарик при движении тел по вертикальной окружности механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел. То есть

E = E + E мех кин пот

При этом $2 Eкин = (m-+-M-)v 2$ — кинетическая энергия тел, $E пот = (m + M )gh$ — потенциальная энергия тел.

Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила натяжения нити $⃗ T$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем), при этом в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости, поэтому работа силы натяжения нити $T⃗$ равняется нулю и полная механическая энергия тела $M + m$ сохраняется.
5. Из 1 и 2 пункта следует, что условие прохождения телом $M + m$ верхней точки окружности описывается в ИСО вторым законом Ньютона. Условие минимальности начальной скорости означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль

Решение

Пусть начальная скорость пули $v0$ , $v1$ – скорость составного тела после удара

Закон сохранения импульса имеет вид

⃗p0 = ⃗p1,

где $p0$ – импульс пули до столкновения, $p1$ – импульс системы после столкновения.
Импульс тела равен

p= mu

где $m$ – масса тела, $u$ – скорость тела.
Закон сохранения импульса в проекции на ось $x$

mv0 = (m + M )v1

Закон сохранения энергии

Ek0 = Ek1+ Eп,

где $Ek0$ – кинетическая энергия составного тела сразу после соударения шара с пулей, $Ek1$ – кинетическая энергия составного тела в верхней точке, $E п$ – потенциальная энергия составного тела на высоте $2l$ .
А закон сохранения механической энергии — скорость составного тела сразу после удара с его скоростью $v2$ в верхней точке:

(m-+-M-)v21 (m-+M-)v22 2 = 2 + (m +M )g⋅2l

Рассмотрим отдельно шарик в верхней точке. Второй закон Ньютона в векторном виде

(m+ M )⃗g+ ⃗T =(M + m )⃗a,

где $T$ – сила натяжения нити, $a$ – ускорение тела.
Условие минимальности скорости $v0$ означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Центростремительное ускорение в верхней точке