Задача по механике №283

Полушар радиусом $R$ покоится на горизонтальной поверхности стола. В точку A на полушаре помещают небольшую по сравнению с размерами полушара шайбу массой $m$ и отпускают (см. рисунок). Шайба скользит без трения и оказывается в точке B, а полушар при этом остаётся неподвижным. Радиусы OA и OB составляют с вертикалью углы $α$ и $β$ , такие, что $cosα = 5∕6$ , $cosβ = 2∕3$ .
1) Найти скорость шайбы в точке B.
2) Найти силу трения между полушаром и столом при прохождении шайбой точки B.

1) Запишем закон сохранения энергии для шайбы:

mv2B mgR cosα = mgR cosβ + -2--,

Отсюда:

∘ --(-----)- ∘ --- vB = ∘2g-(cosα-− cosβ)= 2g 5− 4 = gR. (1) 6 6 3

2) Расставим силы, действующие на шайбу (синим цветом) и полусферу (красным цветом) в точке $B$

Здесь $N$ – сила реакции опоры со стороны шайбы, а также из третьего закона Ньютона сила давления шайбы на полушар, $mg$ – сила тяжести шайбы, $Mg$ – сила тяжести полушара, $N1$ – сила реакции опоры со стороны стола, $Fтр$ – сила трения между столом и полушаром, $a$ – полное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для шайбы: