Задача по механике №282

Брусок, к вертикальной стойке которого на нити прикреплен шарик массы $m$ , покоится на шероховатой горизонтальной поверхности. Нить с шариком отклонили до горизонтального положения и отпустили без начальной скорости. Шарик движется в вертикальной плоскости по окружности. Брусок начинает скользить по поверхности в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол $α$ = $π ∕4$ Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности $μ$ = $4∕7$ Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ . Нить и стойка легкие.
1) Найдите силу $T$ натяжения нити в этот момент.
2) Найдите массу $M$ бруска.
(«Физтех», 2019, 10 )

1) Запишем закон сохранения энергии

mv21 mv21 mgl =-2--+ mgl(1 − cosα)⇒ -l--= 2mgcosα

Запишем второй закон Ньютона для шарика:

⃗T + m⃗g =m ⃗a,

где $T$ — сила натяжения нити, $a$ – полное ускорение, $v$ – скорость тела, $l$ – длина нити.

На рисунке красным показаны силы, действующие на брусок, и синим – действующие на шарик. Запишем второй закон Ньютона на ось, сонаправленную с центростремительным ускорением $aц.с. =v2∕l$

2 √- T − mg cosα= ma ц.с. ⇒ T = mv-1+ mg cosα= 3mg cosα = 3-2mg l 2

2) Запишем второй закон Ньютона для бруска:

M ⃗g +N⃗+ F⃗ + ⃗T = MA⃗, тр

где $N$ – сила реакции опоры, $Fтр = μN$ – сила трения, $A$ – ускорение бруска.
Расстановка сила показана на рисунке выше красным цветом. Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную ось: