Задача по механике №277

На гладкой горизонтальной поверхности вплотную к вертикальной стенке стоит брусок массой $M = 0,8$ кг, в котором сделано гладкое углубление полусферической формы радиусом $R = 0,2$ м. Из точки А начинает соскальзывать маленькая шайба массой $m = 0,2$ кг. Найдите максимальную высоту $h$ относительно нижней точки полусферы, на которую поднимется шайба при ее последующем движении. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

ДВИ МГУ 2020

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Шайба движется поступательно, её размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. На максимальной высоте подъёма скорости шайбы и полусферы будут равны и направлены по горизонтали (вертикальная составляющая скорости шайбы равняется нулю в верхней точке) , не будет наблюдаться их относительного движения, после этого момента времени, шайба будет скатываться обратно вниз относительно полусферы.

4. На тело массой $m$ и полусферу $M$ действуют силы реакции опоры, так как поверхность полусферы гладкая, то суммарная работа сил нормальной реакции опоры действующей на шайбу массой $m$ и полусферу $M$ равняется нулю (идеальная связь). За нулевой уровень потенциальной энергии выберем нижнюю точку полусферы. Выполняется закон сохранения энергии для системы тел.

5. Так как на систему не действуют внешние силы по горизонтальному направлению, то выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось.

Решение

До нижней точки движения шайба будет «давить»на брусок с силой, направленной вправо, следовательно, брусок не будет сдвигаться с места. При этом брусок давит на стенку, а стенка давит на брусок. Пусть эта сила равна $F д$ .

На высоте $R$ шайба имеет потенциальную энергию:

E1 = mgR.

А при движении в нижней точке углубления со скоростью $v0$ кинетическая энергия шайбы равна:

mv20 E2 = 2 .

Найдем скорость шайбы в нижней точке траектории из закона сохранения энергии движения шайбы вниз:

mv2 ∘ ---- E1 = E2 ⇒ mgR = -20-⇒ v0 = 2gR.

После прохождения нижней точки траектории шайба начнем давить на брусок и он начнет двигаться вправо. Максимальная высота будет достигнута тогда, когда скорость бруска и шайбы будет равна, пусть она равна $u$ . Воспользуемся законом сохранения импульса