Задача по механике №273

Два одинаковых шара массы $m$ каждый связаны прочной нитью и лежат на гладком столе (рис. вид сверху) . Доска массы $M = 2m$ налетает со скоростью $u = 1$ м/с на эту систему и ударяет по середине нити. Найти скорости шаров при ударе о доску. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тела движутся поступательно, их размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тела моделью материальной точки.

3. Будем считать, что время соударения доски и нити мало, а значит нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально (в плоскость чертежа и от неё). Следовательно, в ИСО при попадании доски в нить сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы тел «шарики m + доска M».

4. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила реакции опоры $⃗ N$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем, поверхность гладкая), при этом в любой точке траектории сила реакции опоры перпендикулярна скорости, поэтому работа силы реакции опоры $⃗N$ равняется нулю и полная механическая энергия тела M + 2m сохраняется. Выполняется закон сохранения энергии.

Решение

Пусть $v⊥$ проекции скоростей шаров на направление, перпендикулярное направлению движения доски, а $v$ – скорость доски сразу после удара. Из законов сохранения энергии и импульса имеем