Задача по механике №256

Из точки, находящейся над землёй, одновременно бросили два тела: одно вертикально вверх с начальной скоростью $v0 = 10 м/с,$ второе — горизонтально с начальной скоростью $2v0.$ Найти расстояние между телами в тот момент, когда первое тело поднялось на максимальную высоту над поверхностью земли. Второе тело в этот момент времени ещё не успело упасть на землю.

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым телом(тело, которое бросили горизонтально). Запишем уравнения для скорости при относительном движении:

⃗v1 = v⃗отн + ⃗v2,

где $v1$ — скорость первого тела относительно неподвижной системы отсчёта(Земли), $v2$ — скорость второго тела относительно неподвижной системы отсчёта(т.н. скорость подвижной системы отсчёта), $v отн$ — скорость первого тела относительно подвижной системы отсчёта(второго тела).
Запишем как выражаются скорости тел в проекции на оси:

v1x = vотн.x + v2x,

v1y = vотн.y + v2y.

Запишем выражения для каждой скорости: $v1y = v0 − gt$ , $v2y = − gt$ , $v1x = 0$ , $v2x = 2v0$ .
Тогда

vотн.x = − 2v0,

v = v . отн.y 0

Найдем время движения первого тела до полной остановки. Конечная скорость первого тела должна быть равна 0

v0 0 = v0 − gt ⇒ t = g .

Теперь найдем расстояние по вертикали

S = v t = v20 = v20. y 0 g g

А расстояние по горизонтали равно

v2 Sx = 2v0t = 2 0g-.

Тогда расстояние между телами по теореме Пифагора

∘ ------- 2 2 L = S2 + S2= √5-v0 = √5 10-≈ 22,4 м. 1 2 g 10

II способ
Рассмотрим как движутся тела по отдельности. Введем декартову систему отсчёта. Первое тело будет двигаться равнозамедленно с ускорением $g$ вверх с начальной скоростью $v0$ . Найдем время, за которое первое тело достигнет максимальной высоты(то есть, тело должно иметь нулевую скорость)

v0 0 = v0 − gt ⇒ t = g .

Найдем отрезок

gt2 v02 S1y = v0t− 2 = 2g .

Рассмотрим второе тело. В данной системе координат оно будет двигаться горизонтально с постоянной скоростью $2v0$ и равноускоренно вниз с ускорением $g$ и за время $t$ пройдет расстояние

2 S2x = 2v0t = 2v0, g

gt2- v20 S2y = 2 = 2g.

По теореме Пифагора

∘ ---------------- √ - 2 √ - 2 L = (S1y + S2y)2 +S22x = 5v0= 510- ≈ 22,4 м. g 10