Задача по механике №177

От груза, неподвижно висящего на невесомой пружине жёсткостью $k,$ отделился с начальной скоростью, равной нулю, его фрагмент массой $m = 0,6 кг.$ После этого при возникших колебаниях оставшаяся часть груза поднималась на максимальную высоту $h = 3 см$ относительно первоначального положения. Какова жесткость пружины?

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Кубик массой $M$ и $m$ имеет малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем кубики моделью материальной точки. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем с помощью второго закона Ньютона

3. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае таких сил нет, (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет) полная механическая энергия кубика при его движении сохраняется.

4. Так как деформации упругие, то применим закон Гука для нахождения силы упругости, действующей на тело во время возникших колебаний.

Решение В начальном положении тело находилось в равновесии, то есть сила тяжести уравновешивает силу Гука

⃗FН +(M + m )⃗g = 0,

где $FН = ky0$ – сила Гука. Или в проекции на ось $x$

(m + M )g = ky0 (1)

Так как начальная скорость куска $m$ равна нулю, то и скорость $M$ после отделения также равна нулю. После отделения части груза, будут совершаться гармонические колебания, значит по закону сохранения энергии

2 2 ky20 = k(y0−2-h)-+ Mgh

Раскроем скобки

ky2 k(y2− 2y0h +h2) kh -20= ---0---2------ +Mgh ⇒ ky0 =-2 +Mg (2)

kh+ Mg = mg + Mg ⇒ mg = kh 2 2

Отсюда

2mg- 2-⋅0,6⋅10 k = h = 0,03 = 400 Н/м