Задача по механике №172

Брусок массой $M = 100$ г подвешен на невесомой пружине жесткостью $k = 1$ Н/м. Снизу в него попадает пластилиновый шарик массой $m$ =1 г, летящий вертикально вверх со скоростью $v0$ =2,5 м/с, и прилипает к бруску. Найти амплитуду $A$ возникающих при этом гармонических колебаний. Ускорение свободного падения $g$ =10 м/с $2.$ Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

ВМК МГУ

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Кубик массой $M$ и $m$ имеет малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае таких сил нет, (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет) полная механическая энергия кубика при его движении сохраняется.

4. В вертикальном направлении действует сила тяжести и закон сохарнения импульса можно применять с учетом малости времени удара.

5. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Выберем начало отсчета в положении равновесия бруска до прилипания шарика, ось OX направим вверх. В этом состоянии пружина растянута на величину

x0 = Mg- k

По закону сохранения импульса в момент прилипания шарика имеем:

mv =(M + m )u, 0

откуда

u= -mv0-. M + m

В точках максимального смещения от нового положения равновесия скорость бруска и шарика равна нулю. Из закона сохранения энергии следует:

2 2 2 (M--+m-)u-+ kx0= (M + m )gx + k(x-− x0)-. 2 2 2

Подставляя в это равенство найденное ранее $u$ , получаем квадратное уравнение относительно $x$ . Разрешая это уравнение, получаем два корня, которые соответствуют координатам верхней и нижней точек движения бруска с шариком:

1 [ ∘--------------2-----------2] x1,2 = k kx0− (M + m )g ± (kx0− (M + m)g) +k(M + m )u

Поскольку амплитуда колебаний равна

A= 1 (x1− x2), 2

ответ имеет вид

∘ --------------- mg k ( v0)2 A= -k- 1+ M-+-m- g- ≈ 1,3 см