Задача по механике №171

Просмотров 6 Комментарии 0

Тело массой $m = 1$ кг, надетое на гладкий горизонтальный стержень, совершает свободные гармонические колебания под действием пружины. Какова полная механическая энергия колебаний $E$ , если амплитуда. колебаний $A = 0,2$ м, а модуль максимального ускорения тела в процессе колебаний $amax = 3$ м/с $2?$

ВМК МГУ

СПОСОБ I
Максимальное ускорение равно

amax = A ⋅ω2 = vmax⋅ω,

где $A$ – амплитуда, $ω$ – циклическая частота, $vmax$ – максимальная скорость.
Циклическая частота

∘ --- ω = m-, k

где $m$ – масса груза, $k$ – жёсткость пружины.
Максимальная кинетическая энергия равна

mv2max ma2max m2a2max E = --2---= --2ω2-= --2k--.

Так как

amax = A⋅ω2 = A k-⇒ k = mamax-. m A

То

2 E = mAamax-= 1 кг⋅0,2 м-⋅3 м/с-= 0,3 Д ж. 2 2

СПОСОБ II

Запишем второй закон Ньютона:

m ⃗a= ⃗N + m⃗g +F ⃗упр,

где $a$ – ускорение, $N$ – сила реакции стержня, $Fупр =− kx$ – сила упругости пружины, $x$ – растяжение (сжатие пружины).
В проекции на ось, вдоль которой движется тело, уравнение его колебаний под действием пружины жесткостью $k$ имеет вид: