Задача по механике №167

Небольшой брусок массой $m = 100$ г, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой $M = 3m$ . При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикреплённую к стене (см. рисунок). С какой скоростью $v$ двигался брусок до столкновения, если после абсолютно неупругого удара бруски вернутся в точку столкновения спустя время $t= 1,7$ с? Жёсткость пружины $k =40$ Н/м, а расстояние от точки столкновения до пружины $L= 25$ см. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Основная волна, 2019

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Так как трение отсутствует и все внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры), действующие на тела $m$ и $M$ , направлены вертикально вверх и уравновешивают друг друга отдельно для каждого тела. Следовательно, в ИСО сохраняется импульс системы «брусок $m$ и тело $M$ «при их столкновении.

3. Так как по условию трение отсутствует, то движение тел после соударения и до пружины равномерное, и его можно описать кинематикой равномерно движущегося тела.

4. После того, как тела коснутся пружины, начнутся гармонические колебания на пружине. По возвращении в точку соприкосновения тела пройдут половину колебания. В процессе движения с пружиной полная механическая энергия системы тел равна $Eмех = Eкин+ Eпр$ , где $E кин$ — кинетическая энергия системы тел, $E пр$ — потенциальная энергия деформации пружины. Так как изменение полной механической энергии системы тел равно работе непотенциальных сил, а в данном случае единстванная такая сила — сила реакции опоры, то полная механическая энергия системы тел не изменится, поскольку сила реакции опоры направлена вертикально и она перпендикулярна движению тела, а следовательно, не соврешает работы. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что по возвращении в точку касания пружины с телами, тела в момент отрыва будут двигаться с той же скоростью, что и в момент касания с пружиной.

Решение

Закон сохранения импульса запишется в виде

m ⃗v = (M + m)⃗v′.

Тогда при столкновении бруска и тела

v mv =v′(M + m)⇒ mv =4mv ′ ⇒ v′ = 4 (1)

где $v′$ – скорость бруска и тела после столкновения.
Чтобы вернуться в точку удара бруску надо пройти расстояние $2L$ и совершить половину колебания на пружине. Период колебаний пружинного маятника равен

∘ ------- ∘ --- T = 2π M--+m- =2π 4m- (2) k k

Так как тела движутся по отрезку $L$ два раза, то время движения на этом участке будет равно $t1 = 2L- v′$
Значит время, затрачиваемое на возвращение тела обратно, равно

2L- T- t= v′ + 2

С учетом (1) и (2) оно равно

∘ --- t= 8L-+ π 4m- v k

Отсюда начальная скорость бруска

v = ---8∘L----= -----8⋅0,∘25 м-----≈ 1,44 м/с m- 4⋅0,1 кг t− π 4 k 1,7− 3,14 40 Н/м