Задача по механике №166

Просмотров 5 Комментарии 0

Выведите формулу для периода колебаний математического маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Пусть груз отвели на малый угол $φ$ , тогда

x sinφ = l,

где $x$ – смещение по горизонтали, $l$ – длина нити.
Запишем второй закон Ньютона для маятника:

m ⃗a= m ⃗g+ ⃗T,

и спроецируем его на ось $X$ :

max = Tx.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x > 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1300-10.svg» width=»auto»>), то: </p>
<div class= $Tx = − T sin φ= − Tx. l$

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. $x <0$ ), то:

x Tx = T sinφ =− T l.

Итак, при любом положении маятника имеем:

x max = −T l

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство $T = mg$ . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство $T ≈ mg$ :

x g ma = −mg l ⇒ a+ lx = 0

Откуда $2 g ω = l$ и период

∘ -- T = 2π l g