Задача по механике №165

Выведите формулу для периода колебаний пружинного маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело сцеплено с пружиной, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Запишем второй закон Ньютона при смешении на $x$ относительно положения равновесия

max =Fx,

где $Fx$ – силу упругости, действующая на груз со стороны пружины.
Если $x> 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1299-6.svg» width=»auto»>, то сила упругости направлена в противоположную сторону, и <img decoding=$ . Наоборот, если $x< 0$ , то $Fx > 0. » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1299-9.svg» width=»auto»> Знаки <img decoding=$ и $Fx$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Fx =− kx

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде:

max = −kx⇒ ax+ k-x= 0 m

Тогда из нашего уравнения $ω2 =-k m$ . А период

∘ --- T = 2π= 2π m- ω k

Рассмотрим энергетический подход. Запишем закон сохранения энергии:

kx(t)2 mv-(t)2 2 + 2 = const,

где $v$ – скорость груза.
Продифференцируем выражение по времени $t$ . Производная от $x′(t)t = v(t)$ , $(x2(t))′ = 2x(t)⋅v(t).$ Производная от $v′(t)= a(t)$ , тогда $(v2(t))′ = 2v(t)⋅a(t).$ Производная от константы равна нулю $(const)′ =0$ . Тогда

( 2 2) ′ kx(t) + mv(t)- =(const)′ ⇒ kx(t)⋅v(t)+mv (t)⋅a(t) =0 ⇒ a+-kx = 0. 2 2 m

Получили тоже выражение, что и ранее