Задача по механике №163

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $α$ колеблются с амплитудой $A$ как одно целое вдоль прямой шайба массой m и брусок массой $3m$ под действием пружины жёсткостью $k$ , прикреплённой к бруску (см. рисунок). При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 2005)

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Кубик массой $m$ и брусок $3m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $3m$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $3m$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Расставим силы, действующие на шайбу

$N$ – сила реакции опоры бруска, $Fтр$ – сила трения.
Запишем второй закон Ньютона для шайбы:

m⃗a = F⃗тр+ ⃗N +m ⃗g

Сила трения находится по формуле:

Fтр = μN.

Спроецируем на оси $x$ и $y$ :

( {N − mg cosα = 0 (1) ( μN − mg sinα = max (2)

Если система совершает колебаний по закону:

x(t)= Asin(ωt+ φ0),

где $ω$ – циклическая колебаний, $φ0$ – начальная фаза.
То ускорение меняется по закону:

a(t)= x′′(t)= − Aω2sin(ωt).

Тогда максимальное ускорение равно:

am = A ω2.

При этом циклическая частота равна:

∘ --- ω = -k-. 4m

При колебательном движении шайбы сила трения достигает максимального значения в крайнем нижнем положении шайбы. Для этого положения шайбы уравнение (2) с учётом (1) будет иметь вид:

μmg cosα− mg sinα = mA ω2

Совместные колебания шайбы и бруска будут возможны , если максимальная сила трения покоя будет больше или равна силе трения скольжения между шайбой и бруском:

μmgcosα ≥ mAω2 +mg sin α⇒ μ≥ tgα+ ---Ak---. 4mg cosα

И минимальное значение:

--Ak---- μmin = tgα + 4mgcosα