Задача по механике №162

Шарик подвешен в поле тяжести на легкой упругой пружине с неизвестной жесткостью. Шарик поднимают вверх до положения, когда пружина не деформирована, и отпускают. При дальнейшем движении шарика вдоль вертикали в некоторые моменты времени силы, действующие на шарик со стороны пружины, отличаются в 2 раза, а модули ускорений равны.
1. Найти модуль ускорения в эти моменты.
2. Найти отношение кинетических энергий шарика в эти моменты.
3. Найти отношение максимальной энергии деформации пружины к максимальной кинетической энергии шарика.
(«Физтех», 2020, 11)

1) Пусть амплитуда колебаний равна $A$ , $k$ – жёсткость пружины, $m$ – масса шарика, $x$ – смещение груза от положения равновесия в искомые моменты. Так как первоначально нить отклонена в положение нерастянутой пружины, то выполнено равенство:

kA = mg ⇒ A = mg-. k

Если шарик совершает колебаний по закону:

x(t)= Acos(ωt),

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
То ускорение меняется по закону:

′′ 2 a(t)= x (t)= − Aω cos(ωt).

Пусть модули ускорений равны в моменты $t1$ и $t2$ . Тогда выполнено равенство:

|cos(ωt1)|= |cos(ωt2)|

Тогда

|x(t1)|= |x(t2)|

Следовательно

2k(A− x)= k(A +x).

Запишем второй закон для шарика, в проекции на вертикальную ось

mg − k(A − x) = ma

Тогда

a = g. 3

2) Скорость изменяется по закону:

v(t)= x′(t)= Aω sin(ωt).

Тогда скорости в эти моменты равны и тогда кинетические энергии, которые находятся по формуле:

E1 = mv-(t1)2, E2 = mv(t2)2. 2 2

тоже равны.
3) Максимальное отклонение пружины от положения недеформированной пружины равно $2A$ , тогда максимальная потенциальная энергия пружины равна: