Задача по механике №160

Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом $0,5с$ вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика? Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как грузы являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

x = x0cos(ωt+ φ0)

А период

∘ --- T = 2π m- k

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

m⃗a= m⃗g +F ⃗упр1

где $a$ – ускорение, $m$ – масса, $Fупр1$ – сила упругости пружины.
Запишем второй закон Ньютона для бруска:

M ⃗a′ = ⃗N +F⃗тр+ M ⃗g+ Fу⃗пр2,

где $M$ – масса, $a′$ – ускорение, $N$ – сила реакции стола, $Fтр$ – сила трения, $Fупр2$ – сила упругости нити. Так как нить нерастяжима и невесома, то $Fупр1 = Fупр2 = Fупр$ .
Тогда спроецировав первое уравнение на вертикальную ось, для случая, когда груз находится в нижней точке траектории, получим:

ma = Fупр− mg

а второе на горизонтальную и вертикальную ось, с учетом, что брусок остается на месте

Fупр = Fтр N = Mg

Сила трения скольжения равна

Fтр = μN = μMg

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качений грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

mg + ma ≤ μMg

Откуда отношение масс равно

M-= g-+a m μg

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

′ υx = x = −ωx0sin(ωt +φ0)

′′ 2 ax = x = −ω x0cos(ωt+ φ0)

Максимальное ускорение равно

|| 2 || 2 |amax|=|− ω2x0|= ||− 4π2x0||= 4πx20- T T

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

4π2x0 10 + 4π2⋅0,04- M-= g-+--T2- = -----0,25--= 6,53 m μg 2,5

Также в гармонических колебаниях должно быть выполнено условие: нить всё время натянута, поэтому груз нигде не переходит в режим свободного падения.

4π2x gT 2 |amax|<g ⇔ -T-20< g ⇒ x0 < 4π2

Предельный случай, когда $x0 = A$ , то есть

2 A = x0 < gT 4π2

Как видим, это условие не зависит от масс грузов, следовательно, оно будет выполняться всегда в условиях этой задачи и ответ будет зависеть только от первого условия.