Задача по механике №159

Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Брусок в пять раз тяжелее доски. Система совершает колебания с амплитудой $A = 8$ см и периодом $T = 0,8$ с по поверхности стола под действием пружины, прикреплённой к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 1992)

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Брусок массой $M$ и доска $m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальнами точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $M$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $M$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Пусть масса бруска $M$ , а масса доски $m$ .
Период колебаний равен:

2π T =-ω ,

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
Расставим силы, действующие на тела

Здесь $N1$ – сила реакции опоры стола, $N2$ – сила реакции опоры доски, $P$ – вес бруска, $Fтр$ – сила трения между доской и бруском.
Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски:

F⃗тр+ ⃗N2+ M ⃗g+ F⃗у =M ⃗a,

⃗Fтр +N⃗1 + ⃗P +m ⃗g = m ⃗a.

По третьему закону Ньютона $P = N2$ .
Для того, чтобы колебания совершались тела должны двигаться как одно целое, то есть ускорения тел в любой момент времени должны быть равны.
Спроецируем второй закон Ньютона на оси $y$ и $x$ :