Задача по механике №157

Однородный стержень $AB$ постоянного поперечного сечения прикреплён верхним концом к шарниру, в котором он может без трения поворачиваться в плоскости рисунка. Масса стержня $m =1$ кг. Если к нижнему концу стержня приложена в плоскости рисунка постоянная горизонтальная сила $F⃗$ , то в равновесии стержень образует с вертикалью угол $α$ ( $tgα = 0,8$ ). Чему равен модуль силы, с которой стержень действует в равновесии на шарнир? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень $AB$ . Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование
1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.
2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Так как стержень однородный, то его центр тяжести находится посередине.
3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.
4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)
Решение

Запишем условие равновесия ( пункт 3) через второй закон Ньютона

F⃗упр+ m⃗g +F⃗= 0.

Введем декартовую систему координат и запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси

( { Ox: F = Fупр.x ( Oy: mg = F . упр.y

Тогда по правилу треугольника для векторов

∘ ------------ ∘ --------- Fупр = Fу2пр.x+ F2упр.y = (mg )2+ F2.

Пусть длина стержня $l$ . Запишем второе условие равновесия через правило моментов. Рассмотрим моменты силы относительно оси, проходящей через точку $A$ .
Тогда

l F lcosα− mg 2sinα = 0,

mg F = -2-tgα.

Тогда учитывая выражение для силы упругости, получим

∘------- ∘------- Fупр = mg tg2α-+1 = 10⋅ 0,82-+1 ≈ 10,8 H. 4 4

По третьему закону Ньютона сила упругости равна силе, которая действует на шарнир со стороны стержня.