Задача по механике №152

В горизонтальной плоской плите сделано углубление в виде полусферы радиусом $R$ . В углубление опущен однородный тонкий стержень АВ неизвестной длины $l$ ( $2R < l < 4R$ ). Найдите длину стержня, если он образует с горизонтом угол $α$ . Трения нигде нет. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным.

3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

5. По определению сила нормальной реакции опоры перпендикулярна плоскости соприкосновения тел. Значит сила номральной реакции опоры в точке $A$ будет направлена внутрь окружности по радиусу, а сила нормальной реакции опоры точки $D$ будет направлена перпендикулярно стержню.

6. Так как стержень однородный то его центр тяжести находится в середине и эта точка является точкой приложения силы тяжести.

Решение

Стержень находится в покое под действием плоской системы трех непараллельных сил, следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке (см .рис.).

Сделаем пояснение к построению. Угол $β$ найдём из прямоугольного треугольника $AO1C$

β = 180 − 90 − α = 90− α.

Углы $EO1D$ и $AO1C$ равны как вертикальные. Из треугольника $O1DE$ находим, что

O1ED = 180− 90− (90− α)= α

Так как прямые $OD$ и $AC$ параллельны, то углы $ODA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие, при этом $AO =OD$ как радиусы полусферы, следовательно, треугольник $AOD$ равнобедренный и $DAO = α$ , а так как $OD$ и $AC$ параллельны, то