Задача по механике №146

Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами $m1 = 200$ г и $m2 = 100$ г, расположенными в точках $C$ и $B$ соответственно, шарнирно закреплён в точке $A$ . Груз массой $M = 100$ г подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол $α =30∘$ , а нить составляет угол с вертикалью, равный $β = 30∘$ . Расстояние $AC = b=$ 25 см. Определите длину $l$ стержня $AB$ . Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Демоверсия 2021

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Грузы будем описывать моделью материальной точки, так как их движение поступательное и в данной задаче размерами тел можно пренебречь.

3. Стержень $AC$ будем считать абсолютно твёрдым телом — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

5. Нить нерастяжима, поэтому если покоится груз, то покоится и стержень.

6. Груз находится в покое относительно поступательного движения, следовательно, сумма сил, действующих на него, равна нулю.

7. Нить невесома, блок идеален, (масса блока ничтожна, трения нет), поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же.

Решение

Сделаем рисунок с указанием всех сил

Так как нить нерастяжимая $T1 = T2$ . Момент силы можно найти по формуле: $M =F l$ , где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Запишем правило моментов относительно точки А. В точке $B$ действует только сила натяжения нити равная силе тяжести $m1g$ , в точке $C$ действует вниз сила натяжения нити равная силе тяжести $m2g$ и сила натяжения нити, действующая вверх, равная $Mg$