Задача по механике №144

К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной $L$ = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой $m = 3$ кг на расстоянии $d= 5$ см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня $M$ ? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Досрочная волна 2017

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным.

3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

Решение

Сделаем рисунок с указанием сил, действующих на стержень

Момент силы можно найти по формуле: $M =F l$ , где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения. Тогда правило моментов относительно точки $A$

( ) F L-+ mg L-− d = F L- y12 2 y22

Здесь: $L Fy1-2$ — момент силы упругости левой пружинки относительно точки А, $( L ) mg 2 − d$ — момент силы тяжести груза относительно точки А, $L- Fy22$ — момент силы упругости правой пружинки относительно точки А.
Кроме того, по условию стержень расположен горизонтально (растяжения пружин равно) и жёсткость левой пружины в 2 раза меньше правой $Fy1 = kx$ — сила упругости левой пружины, $Fy2 =2kx$ — сила упругости правой пружины, где $k$ – жёсткость левой пружины, $x$ – удлинение пружины. Тогда правило моментов запишется в виде:

( ) kxL-+ mg L-− d = 2kxL-⇒ kx = mg(L-−-2d). 2 2 2 L

Также по правилу моментов относительно точки Б

L kxL = Mg 2 + mgd

Здесь: $kxL$ — силы упругости левой пружинки относительно точки Б, $Mg L- 2$ — момент силы тяжести стержня относительно точки Б, $mgd$ — момент силы тяжести груза относительно точки Б.
Тогда

2(kxL-− mgd-) 2mg (L− 2d)= MgL + 2mgd ⇒ M = gL = 3 кг