Задача по механике №143

Два однородных стержня длиной $3l$ и $4l$ и массой $m$ и $3m$ соответственно сварены концами под прямым углом друг к другу. Сделанный таким образом «прямой угол» повешен на двух нитях одинаковой длины, которые в равновесии занимают вертикальное положение (см. рисунок). Найти отношение сил натяжения левой и правой нитей. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(«Росатом», 2019, 11)

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным.

3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

5. У однородного тела центр тяжести находится посередине, к нему будет приложена сила тяжести.

Решение

Во-первых, заметим, что согласно теореме Пифагора расстояние между точками крепления нитей равно $5l$ . Далее по теореме Пифагора найдём $x$ и $y$ (см. правый рисунок)

По условию $x+ y = 5l$ .

x2+ z2 = 9l2

2 2 2 y + z = 16l

Вычтем из первого второе:

2 2 2 2 2 7 y − x = 7l ⇒ (y− x)(y +x) =7l ⇒ (y− x)⋅5l = 7l ⇒ y = 5l+ x.

Тогда

x + 7l+ x= 5l ⇒ x = 9l ⇒ y = 16l 5 5 5

Треугольники $ACD$ и $AF O$ подобны, при этом сила тяжести направлена из центра стержня, значит, коэффициент подобия равен 2 и плечо силы $mg$ относительно точки $A$ равно $x∕2$ . Аналогично для треугольников $BKE$ и $BF O$ , плечо силы $3mg$ равно $y∕2$ .