Задача по механике №142

К гвоздю, вбитому в вертикальную стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, опираясь о стенку. Нить составляет со стенкой угол $α= 30∘$ . Размеры катушки: $r = 1$ см, $R = 10$ см. Найти минимальное значение коэффициента трения $μ$ между стенкой и катушкой, при котором катушка неподвижна. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Сборник задач «Отличник ЕГЭ»

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Катушку будем считать абсолютно твёрдым телом — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое — для вращательного движения. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

3. Плоскость является касательной к поверхности катушки. По определению сила нормальной реакции опоры перпендикулярна плоскости соприкосновения тел, значит она направлена перпендикулярно плоскости. Так как основание катушки это окружность, то прямые которые проводятся перпендикулярно касательным, внутрь окружности, являются радиусами данной окружности, значит можно утверждать, что линия действия силы реакции опоры проходит через центр окружности основания цилиндра.

4. Сила трения явлется касательной силой реакции опоры и направлена параллельно вертикальной стене.

Решение

Момент силы можно найти по формуле: $M = Fl$ , где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Силы, действующие на катушку, изображены на рисунке, где $m⃗g$ – сила тяжести, $⃗T$ – сила натяжения нити, $Fтр$ – сила трения, $N⃗$ – нормальная составляющая силы реакции стены. Запишем второй закон Ньютона для катушки: