Задача по механике №141

Цилиндр массой $M = 10 кг$ поместили на рельсы, наклоненные под углом $∘ α = 30$ к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы $m$ нужно прикрепить к намотанной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Цилиндр будем считать абсолютно твёрдым телом — его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений — поступательного и вращательного.

3. Плоскость является касательной к поверхности цилиндра. По определению сила нормальной реакции опоры перпендикулярна плоскости соприкосновения тел, значит она направлена перпендикулярно плоскости. Так как основание цилиндра это окружность, то прямые которые проводятся перпендикулярно касательным, внутрь окружности, являются радиусами данной окружности, значит можно утверждать, что линия действия силы реакции опоры проходит через центр окружности основания цилиндра.

4. Груз массой $m$ будем рассматривать моделью материальной точки, так как его размерами в условиях данной задачи можно пренебречь.

Решение

На цилиндр действуют приложенная к его центру сила тяжести $Mg$ , приложенная к его краю сила натяжения нити $T$ и сила реакции опоры $N$ .

Момент силы можно найти по формуле: $M = Fl$ , где $F$ — сила, а $l$ — её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Цилиндр покатится вверх, если момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка, будет меньше момента силы натяжения нити. Для силы $Mg$ плечо $AB$ равно $Rsin α$ , а для силы $T$ плечо $AD$ равно:

AD = R− AB = R − Rsinα =R (1 − sinα).

Тогда следует неравенство:

MgR sinα < TR(1− sinα).

Также запишем второй закон Ньютона для груза:

⃗T + m⃗g =m ⃗a,

где $a$ – ускорение груза.
Так как по условию цилиндр должен катиться наверх, то ускорение $a$ направлено вниз. Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось:

mg− T = ma ⇒ T = m(g− a).

Подставим в неравенство из моментов:

Mg sinα < mg(1− sinα )− ma (1− sinα)

Отсюда

При этом минимальность будет при, тогда Статика Оцените статью