Задача по механике №140

Узнав о готовящемся нападении неприятеля, решетку ворот замка начали опускать с постоянной скоростью $u = 0,2 м/с.$ Мальчик, игравший на расстоянии $l = 20м$ от ворот, в тот же момент бросился бежать к воротам. Сначала он двигался равноускоренно, а затем, набрав максимальную скорость $v = 2,5 м/с, 0$ равномерно. С каким минимальным ускорением $amin$ мог разгоняться мальчик, чтобы успеть пробежать под решеткой ворот в полный рост, если в начальный момент нижний край решетки находился на расстоянии $H = 3 м$ от поверхности земли? Рост мальчика $h = 1 м$ .

Скорость мальчика при разгоне описывается уравнением:

v = V +at,

где $v = v0$ – конечная скорость, $V = 0$ – начальная скорость, $a$ – ускорение, $t$ – время движения.
Из этого уравнения можно выразить время разгона:

v0 t1 = a-.

Расстояние, которое пробежит мальчик во время разгона равно:

at2 at2 v2 S = Vt+ --1 = --1= -0 . 2 2 2a

Тогда на границе разгона расстояние от мальчика до ворот равно $l− S$ , а движение равномерное, значит, время движения мальчика при равномерном движении равно:

t = l−-S. 2 v0

Полное время движения

v0 l− S v0 l v20 v0 l t = t1 + t2 =-a +-v--= -a + v-− 2a-⋅v-= 2a + v-. 0 0 0 0

Из этой формулу видно, что меньше ускорение мальчика, тем больше время движения. Время движения не должно превышать время опускания решетки $τ$ . Для того, чтобы мальчик успел пробежать, необходимо, чтобы ворота опустились на высоту, не превышающую рост мальчика $h$ , то есть время опускания ворот равно:

τ = H-−-h. u

Максимальность времени движения мальчика (минимальность ускорения) будет достигнута при $t = τ$ , то есть

--v0- l- H--−-h ------v0------- 2amin + v0 = u ⇒ amin = (H − h l) 2 --u---− v0

Подставим числа из условия

--(-----2,5 м/-с-----) 2 amin = 3-м-− 1-м -20-м-- = 0,625 м/с 2 0,2 м/ с − 2,5 м/ с