Задача по электродинамике №195

На p-V диаграмме изображен цикл, проводимый с одноатомным идеальным газом. Чему равен коэффициент полезного действия этого цикла?

КПД цикла $η$ будем находить по формуле:

A η = Q- (1) н

Работу цикла $A$ численно равна площади фигуры цикла в координатах $p− V$ , при этом если цикл обходится по часовой стрелке, то работа цикла будет положительной (как у нас). Фигура цикла представляет собой прямоугольный треугольник, поэтому:

1 A = 2 (2p0− p0)(2V0− V0)

A = p0V0 (2) 2

Теперь нужно определить процессы в цикле, в которых теплота подводилась к газу. Запишем первый закон термодинамики:

Q =ΔU +A (3)

Также запишем формулу для определения изменения внутренней энергии одноатомного идеального газа $ΔU$ :

ΔU = 3 νR ΔT (4) 2

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для точек 1–3:

(| ||{p0V0 = νRT1 |2p0V0 = νRT2 ||(2p ⋅2V = νRT 0 0 3

Рассмотрим изохорный процесс 1-2 ( $V = const$ ), работа газа $A12$ в таком процессе равна нулю. Тогда количество теплоты $Q12$ по формуле (3), учитывая формулу (4), равно:

Q12 = 3νRΔT12 (8) 2

Так как давление в процессе 1-2 растёт, значит растёт и температура, то есть ΔT12 > 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1636-15.svg» width=»auto»>. Поэтому, согласно формуле (8) <img alt= 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1636-16.svg» width=»auto»>, то есть теплота в процессе 1-2 подводилась к газу. Учитывая формулы (5) и (6), формула (8) примет вид:

Q12 = 3 (2p0V0− p0V0)= 3p0V0 (9) 2 2

Теперь рассмотрим изобарный процесс 2-3 $(p= const)$ . Работа газа $A23$ в таком процессе равна:

A23 = 2p0(2V0− V0)= 2p0⋅2V0− 2p0V0

Учитывая уравнения (6) и (7), имеем:

A23 = νR ΔT23

Количество теплоты $Q23$ по формуле (3), учитывая формулу (4), равно:

Q23 = 3νRΔT23+ νR ΔT23 2

Q23 = 5νR ΔT23 (10) 2

Так как объем в процессе 2-3 увеличивается, то по закону Гей-Люссака увеличивается и температура ( ΔT23 > 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1636-25.svg» width=»auto»>). Поэтому, согласно формуле (10) <img alt= 0 » class=»math» src=»/images/fizika/answer-1636-26.svg» width=»auto»>, то есть теплота в процессе 2-3 к газу подводилась. Учитывая формулы (6) и (7), формула (10) примет вид:

Q23 = 5(2p0⋅2V0− 2p0V0)= 5p0V0 (11) 2

Так как в процессах 1-2 и 2-3 теплота подводится, значит в процессе 3-1 она отводится, так как хотя бы в одном из процессов цикла она должна отводится. Поэтому количество теплоты $Q н$ , полученное от нагревателя, равно:

Qн = Q12+ Q23

Подставим в эту формулу выражения (9) и (11), тогда:

3 13 Q н = 2p0V0+ 5p0V0 = 2-p0V0 (12)

В формулу (1) для определения КПД $η$ подставим выражения (2) и (12):

p0V0- η =---2-- = 1-≈ 0,0769= 7,7% 13p0V0 13 2