Задача по электродинамике №125

Маленький шарик массой m с зарядом $q =5$ нКл, подвешенный к потолку на лёгкой шёлковой нитке длиной $l = 0,8$ м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле $E⃗$ с модулем напряжённости поля $E =6 ⋅106$ В/м (см. рисунок). Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол $α = 30∘$ , модуль скорости шарика $v$ = 0,9 м/с. Чему равна масса шарика $m$ ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

При перемещении шарика из начального положения в конечное на него будут действовать 3 силы: сила тяжести $mg$ , электрическая сила $qE$ и сила натяжения нити $T$ .
Сила тяжести направлена вниз, при этом она направлена противоположно перемещению шарика по вертикали, значит её работа равна:

Amg = −mgh,

где $h$ – смещение шарика по вертикали.
Электрическая сила направлена влево и сонаправлена перемещению по горизонтали

AqE = qES.

Здесь $S$ – смещение шарика по горизонтали.
Сила натяжения нити направлена вдоль нити. Рассмотрим некоторое положение шарика. Пусть в этот момент сила натяжения равна $T0$ , а скорость шарика $v0$ , при этом скорость всегда направлена по касательной к траектории. В этот момент мощность силы натяжения нити равна:

N0 = T0⋅v0 cosβ,

где $β$ – угол между силой натяжения и скоростью.
Так как $α = 90∘$ , то $cosα =0$ , следовательно, $N0$ тоже равно нулю. Так как мы рассмотрели случайное положение, значит, это справедливо для любого положения шарика, следовательно, при движении шарика мощность, а, следовательно, работа силы натяжения равна нулю.

AT = 0.

По закону сохранения энергии работы сил будут формировать кинетическую энергию

Ek = Amg + AqE + AT = −mgh + qES (1)

Из геометрической картины имеем, что $h= l(1− cosα) (2)$ , а $S = lsinα (3)$ . Распишем изменение кинетической энергии в уравнении (1) и подставим в него (2) и (3)

mv2 --2-= − mgl(1 − cosα)+ qElsinα

Отсюда масса шарика

−9 6 m = ----2qEl-sinα----= -2-⋅5-⋅10---Кл-⋅6-⋅10--В/м⋅0,8 м-⋅0√,5 ≈ 8,1⋅10− 3 кг v2+ 2gl(1− cosα) 0,81 м2/с2+ 2⋅10 Н/ кг⋅0,8 м(1−-3-) 2