Задача к ОГЭ на тему «Задачи повышенного уровня сложности» №41

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите систему уравнений ${ x2 + y2 = 37, xy = 6.$

Заметим, что $x2 + y2 = x2 + 2xy + y2 − 2xy = (x + y)2 − 2xy = (x + y)2 − 12$ (так как из второго уравнения $xy = 6$ ). Следовательно, получаем

( [ { | x + y = 5 (x + y )2 = 25 { ⇒ | x + y = − 5 xy = 6 ( xy = 6

1) Если $x + y = 5$ , откуда $x = 5 − y$ , то второе уравнение системы примет вид $y(5 − y) = 6$ , откуда $2 y − 5y + 6 = 0$ . Корни $y = 2;3$ . При $y = 2$ получаем $x = 3$ , при $y = 3$ получаем $x = 2$ . Следовательно, первая часть ответа $(2;3),(3;2)$ .

2) Если $x + y = − 5$ , то аналогичным образом получаем уравнение $y2 + 5y + 6 = 0$ , откуда $y = − 2;− 3$ . Аналогично получаем $(− 2;− 3),(− 3;− 2)$ .