Задача к ОГЭ на тему «Уравнения и системы уравнений повышенного уровня сложности» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите уравнение $(x + 1)(x2 + 2 ) + (x + 2)(x2 + 1) = 2$ . Если уравнение имеет несколько корней, укажите наибольший из них.

Способ 1 (топорный) Раскроем скобки и приведём подобные члены:

(x + 1 )(x2 + 2) + (x + 2)(x2 + 1) = 2 3 2 2x + 3x + 3x + 2 = 0.

Получаем кубическое уравнение. Для решения нужно разложить левую часть на множители. Нетрудно заметить, что можно объединить члены с одинаковыми коэффициентами:

2(x3 + 1) + 3x(x + 1) = 0 2(x + 1)(x2 − x + 1) + 3x(x + 1) = 0 2 (x + 1)(2x − 2x + 2 + 3x) = 0 (x + 1)(2x2 + x + 2) = 0 [ x + 1 = 0 2x2 + x + 2 = 0

Получим в первом уравнении $x = − 1$ , во втором корней не будет, поскольку $D = 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = − 15 < 0$ .

Способ 1 (красивый)

Заметим, что два слагаемых не очень сильно друг от друга отличаются. В каждом из них можно выделить выражение $(x + 1 )(x2 + 1)$ . Представим теперь уравнение, используя это выражение:

(x + 1)(x2 + 1) + (x + 1) + (x + 1 )(x2 + 1) + (x2 + 1) = 2 2 2 2(x + 1)(x + 1) + (x + 1) + (x − 1) = 0 2(x + 1)(x2 + 1) + (x + 1) + (x − 1)(x + 1) = 0 (x + 1)(2x2 + 2 + 1 + x − 1) = 0 2 (x + 1)(2x + x + 2) = 0.

Далее решение совпадает с решением в первом способе.