Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №8

Просмотров 7 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ точка $N$ — середина стороны $AB,$ а точка $K$ на стороне $BC$ — основание биссектрисы, проведенной из вершины $A.$ Оказалось, что $KB = KN.$ Известно, что $AC = 11, AB = 14.$

а) Найдите длину стороны $BC.$

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

(Задача от подписчиков)

$PIC$

1) Проведем $KO ⊥ AB$ и $KQ ⊥AC.$ Так как $K$ лежит на биссектрисе угла $A,$ то она равноудалена от сторон этого угла, то есть $KO = KQ.$ Также из равенств $△KOA$ и $△KQA$ следует, что $AO = AQ.$

Так как биссектриса треугольника разбивает сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то

BK 14 KC-= 11 ⇒ BK = 14x, KC = 11x

Так как $△BKN$ равнобедренный, то $KO$ является также и медианой, следовательно, $ON = 3,5= OB.$

Следовательно, $AO = 7+ 3,5= 10,5,$ значит, $AQ = 10,5,$ значит, $QC =0,5.$

Тогда по теореме Пифагора из $△BOK$ и $△CQK :$

(14x)2− 3,52 =OK2 = QK2 = (11x)2− 0,52 ⇒ x = 2 5

Следовательно, $BC = 25x= 10.$

2) Из предыдущего пункта следует, что $√-- OK = QK =0,7 39.$ Тогда

1 1 1 √-- 35√-- S△ABC = 2 ⋅OK ⋅AB + 2 ⋅QK ⋅AC = 2 ⋅0,7 39⋅(14+ 11)= 4 39

Радиус вписанной окружности равен:

√ -- ------S△ABC------ --39 r = 0,5(AB +BC +AC ) = 2

Задачи, требующие дополнительного построения