Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E,$ $AB =AD,$ $CA$ — биссектриса угла $C,$ $∠BAD = 140∘,$ $∠BEA = 110∘.$ Найдите угол $CDB.$

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

$PIC$

Так как $△BAD$ равнобедренный и $∠BAD = 140∘,$ то $∠ABD = ∠ADB = 20∘.$ Тогда $∠BAE = 180∘ − 110∘− 20∘ = 50∘,$ $∠DAE = 140∘− 50∘ = 90∘.$

Проведем $AK ⊥ CB,$ $AH ⊥ CD.$ Так как $A$ лежит на биссектрисе угла $C,$ то $A$ равноудалена от сторон угла $C,$ следовательно, $AK = AH.$ Следовательно, $△AKB = △AHD$ по катету и гипотенузе. Следовательно, $∠KAB = ∠HAD = x.$ Так как $△KAC = ∠HAC$ (также по катету и гипотенузе), то

50∘+ x= ∠KAC = ∠HAC = 90∘− x ⇒ 50∘+ x= 90∘− x ⇒ x= 20∘

Следовательно, из $△HAD :$

∠CDB = 90∘− 20∘− 20∘ =50∘.

Задачи, требующие дополнительного построения