Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника вне его построены квадраты $ACDE$ и $BCKF.$ Из точек $E$ и $F$ на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры $EM$ и $FN.$ Докажите, что $EM + FN =AB.$

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

$PIC$

Пусть $∠BAC =β,$ $∠ABC =α.$ Тогда $α +β = 90∘.$ Проведем $CH ⊥AB.$ Тогда $∠ACH = α,$ $∠BCH = β.$

1) $△ACH = △EMA.$ Действительно, $∠EAM = 180∘− 90∘ − β = 90∘− β = α,$ $EA =AC.$ Следовательно, по гипотенузе и острому углу они равны.

2) $△BCH =△F NB$ аналогично по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, $EM = AH,$ $FN = HB.$ Таким образом,

AB = AH + HB =EM + FN

Задачи, требующие дополнительного построения