Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №5

Просмотров 10 Комментарии 0

К двум окружностям, пересекающимся в точках $M$ и $K,$ проведена общая касательная. Докажите, что если $A$ и $B$ — точки касания, то $∠AMB + ∠AKB = 180∘.$

Соединим точки $M$ и $K$ прямой, тогда эта прямая пересечет отрезок $AB$ в середине, в точке $O.$ Сделаем симметрию относительно точки $O$ , получим следующую картинку:

$PIC$

Тогда в силу симметрии $OK = OK ′,$ следовательно, по признаку (диагонали $AB$ и $KK ′$ точкой пересечения делятся пополам) $′ AKBK$ – параллелограмм. Следовательно, $′ ∠AKB =∠AK B.$

Докажем, что $′ ∘ ∠AMB + ∠AK B = 180 .$ Для этого достаточно доказать, что четырехугольник $′ AMBK$ — вписанный.

По признаку около четырехугольника можно описать окружность, если, например, $′ ′ ∠K AB = ∠K MB.$

Заметим, что $′ ∠K AB$ — угол между касательной $AB$ и хордой $′ AK ,$ следовательно, он равен половине маленькой дуги $⌣ ′ AK .$

С другой стороны, $∠KMB$ — вписанный угол, опирающийся в такой же окружности на такую же дугу $⌣ KB$ (т.к. хорды $′ AK$ и $KB$ равны, то и дуги, стягиваемые этими хордами, равны). Значит, $∠KMB$ также равен половине дуги $⌣ KB .$

Но $∠KMB$ — это то же самое, что и $′ ∠K MB.$ Таким образом, мы доказали, что углы $′ ∠K AB$ и $′ ∠K MB$ равны половине от одинаковых дуг $⌣ AK ′$ и $⌣ KB$ соответственно, то есть они равны, чтд.

Эта же задача с другим решением представлена в разделе “Задачи с окружностями”.