Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

На стороне BC равностороннего треугольника ABC взята точка M, а на продолжении стороны AC за точку C — точка N, причем AM = MN. Докажите, что BM = CN.

 

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

PIC

Так как BM + MC равно стороне правильного треугольника ABC, то условие BM = CN равносильно тому, что CN +MC тоже будет равно стороне правильного треугольника ABC.

Поэтому отметим на AC точку M ′ такую, что CM = CM ′. Тогда нам необходимо доказать, что M ′N равно стороне правильного треугольника, например, AC.

Заметим, что треугольник MCM ′ равнобедренный с углом при вершине 60∘, следовательно, он равносторонний. Значит, MM ′ = MC.

Так как AM = MN, то треугольник AMN равнобедренный и ∠MAN = ∠MNA.

∘ ∘ ∘ ∠MCN =180 − 60 = 120, аналогично ′ ∘ ∠AM M = 120 . Следовательно,

∠AMM ′ = 180∘ − ∠MAN − 120∘ =180∘− ∠MNA − 120∘ = ∠NMC

Следовательно, ′ △AMM = △NMC по двум сторонам ( ′ AM = MN, MM = MC ) и углу между ними. Отсюда ′ AM = CN. Следовательно,

AC = AM ′+ M ′C = CN + M ′C = M ′N
Задачи, требующие дополнительного построения
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!