Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $20∘,$ угол $C$ равен $40∘.$ Биссектриса $AD$ равна 2. Найдите разность $BC − AB.$

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

$PIC$

$∠BAC = 180∘− 20∘ − 40∘ = 120∘,$ следовательно, $∠BAD =∠CAD = 60∘.$

Значит, $∠CDA =∠BAD + ∠ABD = 80∘.$

Отметим на $BC$ точку $A′$ так, чтобы $A′B = AB.$ Тогда разность $BC − AB$ равна длине отрезка $CA ′.$ Следовательно, его длину и необходимо найти.

Треугольник $AA ′B$ равнобедренный с углом при вершине $20∘.$ Значит, углы при основании равны $(180∘− 20∘)÷ 2 =80∘.$

То есть $∠AA′B = 80∘.$ Следовательно, треугольник $A ′AD$ тоже равнобедренный и $A′A= AD.$

Так как $∠A ′AB = 80∘,$ то $∠CAA ′ = 120∘− 80∘ = 40∘,$ следовательно, треугольник $CA ′A$ тоже равнобедренный и $′ ′ CA = AA = AD =2.$ Следовательно,

BC − AB = BC − A′B =CA ′ = AD = 2

Задачи, требующие дополнительного построения