Задача к ЕГЭ на тему «Задачи, требующие дополнительного построения» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MC = 4:5,$ $BN :BC = 0,25.$ Отрезки $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $P.$ Найдите $AP,$ если $PN = 10.$

Из условия задачи следует, что $BN = 1BC. 4$

$PIC$

Проведем прямую $NK ∥BM.$ Тогда по теореме Фалеса

BN MK 1 MK 1 BC--= MC-- ⇒ 4 = MC-- ⇒ MK = 4MC

Т.к. по условию $AM :MC = 4:5,$ то можно принять $AM = 4x,$ $MC = 5x.$ Тогда $5 MK = 4x.$

Опять же по теореме Фалеса

AP-= -AM- ⇒ AP-= -4x-= 16 PN MK PN 54x 5

Следовательно, $16 AP = 5 ⋅10 = 32.$

Задачи, требующие дополнительного построения